$\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right)$

Infinito menos infinito, no? Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados: $ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{(\sqrt{n^{2}+a})^2 - (\sqrt{n^{2}+3})^2}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ Simplificamos las raíces cuadradas en el numerador: $ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{n^{2}+a - (n^{2}+3)}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ $ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{a - 3}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ Sacamos factor $n^2$ en las raices, distribuimos las raices y después sacamos factor común $n$...  $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}(a - 3)}{n(\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}})} $ Simplificamos la \( n \) y nos queda... $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n (a - 3)}{\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}} $ Apa, y qué pasó acá? Tomamos límite y nos da... 

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n (a - 3)}{\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}} = +\infty $

Y nosotros queríamos que este límite nos diera $a-5$... eeehhh, te das cuenta que no hay ningun valor real de $a$ que haga que este límite nos de $+\infty$, no? Por lo tanto, la respuesta sería que no existe $a$ para que se cumpla esa igualdad.