$\lim _{n \rightarrow \infty} n \left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right)$

Infinito menos infinito, no? Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$ \lim _{n \rightarrow \infty} n \left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados: $ \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{(\sqrt{n^{2}+a})^2 - (\sqrt{n^{2}+3})^2}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ Simplificamos las raíces cuadradas en el numerador: $ \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{n^{2}+a - (n^{2}+3)}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ $ \lim _{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{a - 3}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} $ Sacamos factor $n^2$ en las raices, distribuimos las raices y después sacamos factor común $n$...  $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n(a - 3)}{n(\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}})} $ Simplificamos la \( n \) y nos queda... $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(a - 3)}{\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}} $ Tomamos límite y nos da... 

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(a - 3)}{\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}} = \frac{a-3}{2}$

Igualamos entonces el resultado del límite a $a - 5$ (el que queríamos que sea nuestro resultado), y despejamos $a$

$\frac{a-3}{2} = a - 5$

$a - 3 = 2a - 10$

$a = 7$

Por lo tanto, lo pedido por el enunciado se cumple si $a = 7$