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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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9. ¿Para qué valor de a∈Ra \in \mathbb{R} vale que lim⁡n→∞n2(n2+a−n2+3)=a−5? \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right)=a-5 ?

Respuesta

Al igual que hicimos en el Ejercicio 77, vamos a calcular el límite, arrastrando aa como si fuera un número real cualquiera, y al final vamos a llegar a un resultado (que quizás dependa de aa). Ese resultado lo vamos a igualar a a−5a-5 y de ahí vamos a despejar aa. Se entiende el plan? Vamos con eso entonces, arrancamos calculando...

lim⁡n→∞n2(n2+a−n2+3)\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right)

Infinito menos infinito, no? Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

lim⁡n→∞n2(n2+a−n2+3)⋅n2+a+n2+3n2+a+n2+3 \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{2}+a}-\sqrt{n^{2}+3}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} Expresamos el numerador como una diferencia de cuadrados: lim⁡n→∞n2⋅(n2+a)2−(n2+3)2n2+a+n2+3 \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{(\sqrt{n^{2}+a})^2 - (\sqrt{n^{2}+3})^2}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} Simplificamos las raíces cuadradas en el numerador: lim⁡n→∞n2⋅n2+a−(n2+3)n2+a+n2+3 \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{n^{2}+a - (n^{2}+3)}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} lim⁡n→∞n2⋅a−3n2+a+n2+3 \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{a - 3}{\sqrt{n^{2}+a}+\sqrt{n^{2}+3}} Sacamos factor n2n^2 en las raices, distribuimos las raices y después sacamos factor común nn...  lim⁡n→∞n2(a−3)n(1+an2+1+3n2) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}(a - 3)}{n(\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}})} Simplificamos la n n y nos queda... lim⁡n→∞n(a−3)1+an2+1+3n2 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n (a - 3)}{\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}} Apa, y qué pasó acá? Tomamos límite y nos da... 

lim⁡n→∞n(a−3)1+an2+1+3n2=+∞ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n (a - 3)}{\sqrt{1+\frac{a}{n^{2}}}+ \sqrt{1+\frac{3}{n^{2}}}} = +\infty

Y nosotros queríamos que este límite nos diera a−5a-5... eeehhh, te das cuenta que no hay ningun valor real de aa que haga que este límite nos de +∞+\infty, no? Por lo tanto, la respuesta sería que no existe aa para que se cumpla esa igualdad.
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Ian
12 de septiembre 12:46
Hola profe, como estas? Estoy super disfrutando del curso. Quiero detallarte una duda que tenia en cuanto a la resolucion de este ejercicio. En el denominador cuando sacas factor comun de n² multiplicas solamente por n. El resultado me dio algo distinto.2024-09-12%2012:44:43_1782274.png
0 Responder
Flor
PROFE
12 de septiembre 14:28
@Ian Hola Ian! Qué bueno que te esté sirviendooo :)

Acá te dejo los pasos intermedios que hay entre esos dos límites, para que veas por qué queda la nn en el denominador:

2024-09-12%2014:26:20_2173626.png
Avisame si ahí lo ves!

A todo esto estoy viendo que el cuatri pasado me avisaron que habían cambiado el enunciado de este problema (tiene sentido, para que podamos encontrar un valor de aa, tiene nn en vez de n2n^2 multiplicando al paréntesis) y me olvidé de modificarloooo jaja a la noche lo edito, esta vez no me voy a olvidar ^^

Fijate en el comentario de abajo igual que dejé la respuesta, por si la querés ir chequeando 
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Ian
13 de septiembre 11:19
@Flor genial profee, ahi lo vi. Me sucede que a veces veo como salteados algunos pasos y me pierdo pero ahi lo comprendi mejor. Muchas graciasss
1 Responder
Fernando
24 de abril 0:27
Hola profesora le agradezco mucho sus resoluciones estoy disfrutando mucho el curso ,queria comentarle que en la guia sale "n" no "n al cuadrado" ,resolviendo el ejercicio hay una parte casi al final que el n(a-3)  sobre 2n = a - 5 pues se simplifica el "n" y pasamos el 2 a multiplicar al otro lado de la igualdad lo cual al final "a" resulta 7.


2024-04-24%2000:24:46_1110347.png
0 Responder
Flor
PROFE
24 de abril 8:30
@Fernando Hola Fer! Aaayyy gracias por avisar, lo deben haber cambiado este año! Tiene sentido, para que podamos llegar a algún valor de aa... Después lo edito con ese cambio de enunciado, pero ya te adelanto que efectivamente el resultado en ese caso es a=7a = 7, buenísimooooo 🥳
2 Responder
Fernando
24 de abril 9:01
<3 gracias a usted,saludos
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